Представления числа Пи (π) помогают ученым использовать значения, близкие к реальным, без необходимости хранить миллион цифр. Создание нового числа «пи» потребовало использования ряда, представляющего собой структурированный набор членов, которые либо сходятся к одному выражению, либо расходятся. В новом исследовании физики используют принципы квантовой механики для построения новой модели абстрактной концепции числа π. Или, точнее, они построили новую модель, которая, как оказалось, включает в себя отличное новое представление числа π. Но что это значит, и зачем нам нужны разные представления числа π?
Поскольку квантовая механика рассматривает мельчайшие частицы, по одной за раз, даже простые вопросы могут иметь сложные ответы, требующие огромной вычислительной мощности. Рендеринг высокотехнологичных видеоигр и фильмов, таких как «Аватар» , может занять дни или больше, и это все еще не на уровне реальности. В новой статье, опубликованной в рецензируемом журнале Physical Review Letters, физики Арнаб Прия Саха и Анинда Синха описывают свою новую версию квантовой модели, которая снижает сложность, но сохраняет точность, сообщает издание Популярная механика.
Это называется оптимизацией. Вспомните, как раннее интернет-видео буферизировалось кусками схожих цветов, или как классические аниматоры рисовали статичные тела с отдельными движущимися частями поверх, как люди срезают углы квадратных пешеходных дорожек, пока не получат кратчайший путь по грунтовой тропе. Мы окружены оптимизацией и оптимизирующим поведением.
Число Пи. LiveJournal
Саха и Синха объединили две существующие идеи из математики и науки: диаграмму Фейнмана рассеяния частиц и бета-функцию Эйлера для рассеяния в теории струн. Результатом является ряд — нечто, представленное в математике греческой буквой Σ, окруженной параметрами.
Ряды могут в конечном итоге обобщаться в общие уравнения или выражения, но это не обязательно. И хотя некоторые ряды расходятся — то есть члены продолжают чередоваться друг с другом — другие сходятся к одному приблизительному, конкретному результату. Вот где появляется π. Цифры числа π простираются до бесконечности, а само пи является иррациональным числом, то есть его нельзя по-настоящему представить целой дробью (та, которую мы часто изучаем в школе, 22/7, не очень точна по стандартам 2024 года).
Но это число можно довольно быстро и хорошо представить рядом. Это потому, что ряд может продолжать выстраивать значения вплоть до самых маленьких цифр. Если математик составляет термины ряда, он может использовать полученную абстракцию, чтобы сделать математические вычисления, которые невозможны с приближением числа π, и обрезаются до 10 цифр стандартным настольным калькулятором. Сложное приближение позволяет проводить работу с наночастицами, которая изначально вдохновила этих ученых.
«В начале 1970-х годов, — сказал Синха в заявлении Индийского института науки, — ученые кратко изучили это направление исследований, но быстро отказались от него, поскольку оно было слишком сложным».
Но математический анализ, подобный этому, прошел долгий путь с 1970-х годов. Сегодня Синха и Саха способны анализировать существующую модель и переделывать ее с измененными членами. Они могут построить последовательность и увидеть, что она сходится к значению π за гораздо меньшее количество членов, чем ожидалось, что упрощает ученым запуск ряда и его использование для дальнейшей работы.
Все это требует десятилетий фундаментальной работы в этой области и большого объема работы, показывающей, что определенные математические ходы работают там, где другие не работают. Это комментарий к непрерывной и совместной природе математики, даже когда результатом является рабочая модель, которая может помочь ученым. Наша способность к осмысленному приближению выросла вместе с нашей способностью решать сложные проблемы напрямую.
«Выполнение такой работы, хотя она, возможно, и не найдет немедленного применения в повседневной жизни, дает чистое удовольствие от занятия теорией ради самой работы», — сказал Синха в своем заявлении.
Число, представленное пи (π), используется в вычислениях, когда речь идет о чем-то круглом (или почти круглом), например, о кругах, сферах, цилиндрах, конусах и эллипсах. Его значение необходимо для вычисления многих важных величин об этих формах, например, для понимания связи между радиусом круга, его окружностью и площадью (окружность = 2πr; площадь = πr2).
Число Пи также используется в расчетах для определения площади эллипса и при нахождении радиуса, площади поверхности и объема сферы. В нашем мире существует множество круглых и почти круглых объектов; нахождение точного значения числа π помогает нам строить, производить и работать с ними более точно, сообщает журнал The Conversation.
Исторически люди имели лишь очень грубые оценки числа π (например, 3, или 3,12, или 3,16), и хотя они знали, что это всего лишь оценки, они понятия не имели, насколько далеки они от истины.
Поиск точного значения числа π привел не только к повышению точности, но и к разработке новых концепций и методов, таких как пределы и итерационные алгоритмы, которые затем стали основополагающими для новых областей математики.
Между 3000 и 4000 лет назад люди использовали приближения числа π методом проб и ошибок, не занимаясь никакой математикой и не принимая во внимание возможные ошибки. Самые ранние письменные приближения числа π — 3,125 в Вавилоне (1900-1600 гг. до н.э.) и 3,1605 в Древнем Египте (1650 г. до н.э.). Оба приближения начинаются с 3,1 — довольно близко к фактическому значению, но все еще относительно далеко.
Число Пи
Первый строгий подход к нахождению истинного значения числа π был основан на геометрических приближениях. Около 250 г. до н.э. греческий математик Архимед начертил многоугольники как вокруг внешней, так и внутренней части кругов. Измерение их периметров дало верхнюю и нижнюю границы диапазона, содержащего число π. Он начал с шестиугольников; используя многоугольники со все большим количеством сторон, он в конечном итоге вычислил три точных цифры числа пи: 3,14. Около 150 г. н.э. греко-римский ученый Птолемей использовал этот метод для вычисления значения 3,1416.
Независимо от него, около 265 г. н.э., китайский математик Лю Хуэй создал еще один простой итеративный алгоритм на основе многоугольника. Он предложил очень быстрый и эффективный метод аппроксимации, который дал четыре точных знака. Позже, около 480 г. н.э., Цзу Чунчжи перенял метод Лю Хуэя и достиг семи знаков точности. Этот рекорд продержался еще 800 лет.
В 1630 году австрийский астроном Кристоф Гринбергер пришел к 38-значному числу, что является наиболее точным приближением, достигнутым вручную с использованием полигональных алгоритмов.
Развитие методов бесконечных рядов в XVI и XVII веках значительно повысило способность людей более эффективно приближать число пи. Бесконечный ряд — это сумма (или, гораздо реже, произведение) членов бесконечной последовательности, например, ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1/(2n). Первое письменное описание бесконечного ряда, который можно было использовать для вычисления числа π, было изложено в стихах на санскрите индийским астрономом Нилакантой Сомаяджи около 1500 года нашей эры, доказательство которого было представлено около 1530 года нашей эры.
Число Пи. Комсомольская правда
В 1665 году английский математик и физик Исаак Ньютон использовал бесконечный ряд для вычисления числа π до 15 знаков, используя исчисление, которое он открыл вместе с немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем. После этого рекорд продолжал побиваться. Он достиг 71 знака в 1699 году, 100 знаков в 1706 году и 620 знаков в 1956 году — наилучшее приближение, достигнутое без помощи калькулятора или компьютера.
Параллельно с этими вычислениями математики исследовали и другие характеристики числа π. Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) первым доказал, что число π является иррациональным — оно имеет бесконечное количество цифр, которые никогда не входят в повторяющуюся последовательность. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число π нельзя выразить рациональным алгебраическим уравнением (например, π²=10 или 9π4-240π2+1492=0).
Всплески вычислений еще большего количества цифр числа π последовали за принятием итеративных алгоритмов, которые многократно создают обновленное значение, используя вычисление, выполненное на предыдущем значении. Простой пример итеративного алгоритма позволяет вам аппроксимировать квадратный корень из 2 следующим образом, используя формулу (x+2/x)/2:
(2+2/2)/2 = 1,5
(1,5+2/1,5)/2 = 1,4167
(1,4167+2/1,4167)/2 = 1,4142, что уже является очень близким приближением.
Прогресс в направлении большего количества знаков числа пи произошел с использованием алгоритма типа Мачина (обобщение формулы английского математика Джона Мачина, разработанной в 1706 году) и алгоритма Гаусса-Лежандра (конец 18 века) в электронных компьютерах (изобретен в середине 20 века). В 1946 году ENIAC, первый электронный компьютер общего назначения, вычислил 2037 знаков числа пи за 70 часов. Самый последний расчет показал, что число пи насчитывает более 13 триллионов знаков за 208 дней!
Широко признано, что для большинства численных расчетов с участием числа π дюжина цифр обеспечивает достаточную точность. По мнению математиков Йорга Арндта и Кристофа Хенеля, 39 цифр достаточно для выполнения большинства космологических расчетов, поскольку именно такая точность необходима для вычисления окружности наблюдаемой вселенной с точностью до диаметра одного атома. Следовательно, большее количество цифр числа пи не имеет практического применения в расчетах; скорее, сегодняшняя погоня за большим количеством цифр числа пи заключается в тестировании суперкомпьютеров и алгоритмов численного анализа.
Существуют также забавные и простые методы оценки значения числа π. Один из самых известных — метод под названием «Монте-Карло».
Метод довольно прост. Чтобы попробовать его дома, нарисуйте на листе бумаги круг и квадрат вокруг него. Представьте, что длина сторон квадрата равна 2, поэтому его площадь равна 4; диаметр круга, следовательно, равен 2, а его площадь равна π. Соотношение между их площадями равно π/4, или около 0,7854. Теперь возьмите ручку, закройте глаза и поставьте точки на квадрате в случайном порядке. Если вы сделаете это достаточно много раз, и ваши усилия будут действительно случайными, в конечном итоге процент попаданий вашей точки в круг приблизится к 78,54% — или 0,7854. Теперь вы присоединились к рядам математиков, которые на протяжении веков вычисляли число π.
День числа Пи был введен в 1988 году в Сан-Франциско, когда Ларри Шоу, легендарный технический куратор городского Эксплораториума, увидел связь между 14 марта (3,14) и пи (3,14159…). Добавьте к этому тот факт, что 14 марта — день рождения Альберта Эйнштейна, и у вас есть готовое празднование.
Число π кажется простым: это отношение длины окружности к ее диаметру, но это совсем не так. Число обладает почти мистическим свойством, которое заставило математиков спуститься в кроличьи норы, пытаясь найти больше цифр числа π, а также обнаружить способы, которыми оно пересекается с остальной математикой. Вот пять невероятных фактов о магическом числе в честь Дня числа π.
Существует несколько утверждений о самом первом открытии числа π. Историки указывают на вавилонскую и египетскую культуры как на вероятных первооткрывателей этой концепции около 2000 г. до н.э. Архимед далее уточнил ее около 250 г. до н.э. в своем трактате « Измерение окружности».
В 250 году нашей эры китайский математик Лю Хуэй в работе, известной как «Девять глав о математическом искусстве», определил, что отношение длины окружности к ее диаметру должно быть больше трех. Используя 96-сторонний многоугольник, Лю Хуэй определил, что отношение должно быть больше трех. Фактически, он вычислил первые пять цифр: 3,1416.
На Западе Архимед стал известен как первооткрыватель константы. На протяжении столетий 22/7 (дробное приближение числа π) было известно в основном под полным греческим названием περιφέρεια. Это переводится как «периферия», что имеет смысл, учитывая, как константа соотносится с окружностью.
Число Пи. Беларусь сегодня
Но в начале 1700-х годов валлийский математик Уильям Джонс решил упростить все начинание. В 1706 году Джонс опубликовал Synopsis Palmariorum Matheseos, текст для начинающих по исчислению и бесконечным рядам. Поскольку константа бесконечна, Джонс начал сокращать ее до просто π. В конечном итоге Джонс продвинулся в математическом сообществе, подружившись с легендарными именами Исааком Ньютоном и Эдмундом Галлеем. Но название не прижилось.
Вскоре число π начало свой путь к математической славе. Идея бесконечного числа была привлекательной для многих, особенно на фоне расцвета научных и технологических открытий, сделанных во время промышленной революции. Для некоторых, как Уильям Шэнкс, число π стало навязчивой идеей. Шэнкс родился в 1815 году в сельской Англии. О его жизни известно немного, но он стал хозяином частной школы-интерната в небольшой деревне под названием Хоутон, в основном известной в то время добычей угля. Однако это не очень интересовало Шэнкса. Вместо этого в свободное время он посвящал себя вычислениям и определению все большего количества цифр числа π. Он не был математиком, но это не мешало ему проводить утро за составлением вычислений, а день за их проверкой.
Со временем он добился впечатляющего прогресса. В 1853 году он опубликовал книгу под названием «Вклад в математику, включающий главным образом выпрямление круга» , в которой было дано 607 знаков после запятой для числа π, первые 500 из которых были независимо проверены.
В 1873 году Шэнкс достиг вершины своих способностей к числу π. Он вычислил 707 знаков после запятой, рекорд, который держался до появления электронного компьютера. Но было и еще одно унижение — в 1944 году математик по имени Д. Ф. Фергюсон независимо просмотрел работу Шэнкса. Там была ошибка. Фергюсон обнаружил, что Шэнкс неправильно поставил два члена, что отбросило его 528-е число.
Чистая вычислительная мощность компьютеров навсегда изменила математику. Два математика предложили раннюю демонстрацию этой мощности в 1962 году с помощью раннего компьютера IBM 7090. Впервые выпущенный в 1959 году, 7090 был полностью транзисторной системой. Это была совершенно новая концепция в 1959 году, когда большинство компьютеров все еще использовали электронные лампы, и 7090 мог выполнять вычисления в шесть раз быстрее, чем эти электронные лампы. Его можно было арендовать всего за 63 500 долларов в месяц (около 700 000 долларов в сегодняшних деньгах).
Клиентами 7090 были в основном учреждения, такие как Министерство обороны и НАСА. В 1961 году математики Дэниел Шэнкс и Джон Ренч использовали его, чтобы достичь цифр числа π, которые Уильям Шэнкс не мог себе представить: 100 000. Согласно академической статье, демонстрирующей их работу, компьютеру 7090 потребовалось восемь часов и 43 минуты, чтобы выполнить вычисления. Это может показаться долгим временем, но если сравнить его с работой Шэнкса над этой темой на протяжении всей жизни, легко увидеть, как компьютер произведет революцию в математике. Версии 7090 позже будут использоваться в космических миссиях Gemini и Mercury.
IBM 7090. Day in Tech History
Одержимость числом π продолжается и в современную эпоху. Поскольку это иррациональное число, это не конец π, и погоня может продолжаться бесконечно. По всему миру и с разницей в столетия Шанкс нашел общую душу в лице Ясумасы Канады, профессора кафедры информатики Токийского университета. В 2002 году Канада установил новый рекорд: π до 24 триллионов знаков после запятой.
Команде Канады потребовалось пять лет, чтобы разработать программу, которая использовалась для получения их результата. И хотя их рекорд был побит с тех пор, усилия Канады показывают, почему увлечение числом π сохраняется. В определенный момент число теряет какое-либо практическое или даже академическое применение. Но задача достичь большего с его помощью показывает человеческую решимость, которая охватывала столетия. Сегодня рекорд составляет колоссальные 62,8 триллиона десятичных знаков.
