Pi(π)-Darstellungen helfen Wissenschaftlern, Werte zu verwenden, die den realen Werten nahe kommen, ohne eine Million Ziffern speichern zu müssen. Die Schaffung der neuen Zahl „pi“ erforderte die Verwendung einer Reihe, bei der es sich um einen strukturierten Satz von Begriffen handelt, die entweder zu einem einzigen Ausdruck konvergieren oder divergieren. In einer neuen Studie nutzen Physiker die Prinzipien der Quantenmechanik, um ein neues Modell des abstrakten Konzepts der Zahl π zu erstellen. Oder besser gesagt, sie haben ein neues Modell gebaut, das eine großartige neue Darstellung von Pi enthält. Aber was bedeutet das und warum brauchen wir unterschiedliche Darstellungen von Pi?
Da die Quantenmechanik winzige Teilchen einzeln betrachtet, können selbst einfache Fragen komplexe Antworten haben, die enorme Rechenleistung erfordern. Das Rendern von High-Tech-Videospielen und Filmen wie „Avatar“ kann Tage oder länger dauern, und es entspricht immer noch nicht der Realität. In einem neuen Artikel, der in der Fachzeitschrift Physical Review Letters veröffentlicht wurde, beschreiben die Physiker Arnab Priya Saha und Aninda Sinha ihre neue Version eines Quantenmodells, das die Komplexität reduziert, aber die Genauigkeit beibehält, berichtet Popular Mechanics.
Dies nennt man Optimierung. Denken Sie daran, wie frühe Internetvideos mit Blöcken ähnlicher Farbe gepuffert wurden, oder wie klassische Animatoren statische Körper mit einzelnen beweglichen Teilen darüber zeichneten, oder wie Menschen die Ecken von quadratischen Fußwegen abschneiden, bis sie den kürzesten Weg über einen unbefestigten Weg fanden. Wir sind umgeben von Optimierung und optimierendem Verhalten.
Pi-Zahl. LiveJournal
Saha und Sinha kombinierten zwei bestehende Ideen aus Mathematik und Naturwissenschaften: das Feynman-Diagramm für die Teilchenstreuung und die Euler-Beta-Funktion für die Streuung in der Stringtheorie. Das Ergebnis ist eine Reihe – etwas, das in der Mathematik durch den griechischen Buchstaben Σ dargestellt wird, der von Parametern umgeben ist.
Reihen können schließlich in allgemeine Gleichungen oder Ausdrücke verallgemeinert werden, dies ist jedoch nicht notwendig. Und obwohl einige Reihen divergieren – das heißt, die Begriffe wechseln sich weiterhin ab –, konvergieren andere zu einem ungefähren, spezifischen Ergebnis. Hier kommt π ins Spiel. Die Ziffern von π reichen bis ins Unendliche, und Pi selbst ist eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht wirklich als ganzer Bruch dargestellt werden kann (die Zahl, die wir oft in der Schule lernen, 22/7, ist nach Maßstäben von 2024 nicht sehr genau).
Diese Zahl lässt sich aber recht schnell und gut nebeneinander darstellen. Dies liegt daran, dass die Reihe bis zu den kleinsten Zahlen Werte aufbauen kann. Wenn ein Mathematiker die Terme einer Reihe zusammenstellt, kann er die resultierende Abstraktion verwenden, um mathematische Berechnungen durchzuführen, die mit der Näherung von π nicht möglich sind und von einem Standard-Tischrechner auf 10 Stellen reduziert werden. Die ausgefeilte Näherung ermöglicht die Arbeit mit Nanopartikeln, die diese Wissenschaftler überhaupt erst inspiriert hat.
„In den frühen 1970er Jahren“, sagte Sinha in einer Erklärung des Indian Institute of Science, „haben Wissenschaftler diese Forschungsrichtung kurz erforscht, sie aber schnell wieder aufgegeben, weil sie zu komplex war.“
Aber mathematische Analysen wie diese haben seit den 1970er Jahren große Fortschritte gemacht. Heute sind Sinha und Saha in der Lage, das bestehende Modell zu analysieren und es mit modifizierten Begriffen neu zu gestalten. Sie können die Folge grafisch darstellen und sehen, dass sie in weitaus weniger Termen als erwartet gegen den Wert π konvergiert, was es für Wissenschaftler einfacher macht, die Reihe auszuführen und für weitere Arbeiten zu verwenden.
All dies erfordert jahrzehntelange grundlegende Arbeit auf diesem Gebiet und eine Menge Arbeit, die zeigt, dass bestimmte mathematische Bewegungen funktionieren, wo andere nicht funktionieren. Es ist ein Kommentar zum kontinuierlichen und kollaborativen Charakter der Mathematik, auch wenn das Ergebnis ein Arbeitsmodell ist, das Wissenschaftlern helfen kann. Unsere Fähigkeit, sinnvoll hineinzuzoomen, ist ebenso gewachsen wie unsere Fähigkeit, komplexe Probleme direkt anzugehen.
„Solche Arbeit zu leisten, auch wenn sie möglicherweise keine unmittelbare Anwendung im täglichen Leben hat, bietet das pure Vergnügen, die Theorie um ihrer selbst willen zu verfolgen“, sagte Sinha in einer Erklärung.
Die durch pi (π) dargestellte Zahl wird in Berechnungen verwendet, wenn es um etwas Rundes (oder nahezu Rundes) geht, wie Kreise, Kugeln, Zylinder, Kegel und Ellipsen. Sein Wert wird benötigt, um viele wichtige Größen dieser Formen zu berechnen, beispielsweise um die Beziehung zwischen dem Radius eines Kreises, seinem Umfang und seiner Fläche zu verstehen (Umfang = 2πr; Fläche = πr2).
Pi wird auch bei Berechnungen zur Bestimmung der Fläche einer Ellipse und zur Ermittlung des Radius, der Oberfläche und des Volumens einer Kugel verwendet. In unserer Welt gibt es viele runde und fast runde Objekte; Das Ermitteln des genauen Werts von π hilft uns, genauer zu bauen, herzustellen und damit zu arbeiten, berichtet The Conversation.
Historisch gesehen hatten die Menschen nur sehr grobe Schätzungen von π (wie 3 oder 3,12 oder 3,16), und obwohl sie wussten, dass es sich nur um Schätzungen handelte, hatten sie keine Ahnung, wie weit sie von der Wahrheit entfernt waren.
Die Suche nach dem genauen Wert von π führte nicht nur zu einer höheren Präzision, sondern auch zur Entwicklung neuer Konzepte und Methoden wie Grenzwerte und iterative Algorithmen, die dann grundlegend für neue Bereiche der Mathematik wurden.
Vor 3.000 bis 4.000 Jahren nutzten die Menschen Näherungen für π durch Ausprobieren, ohne zu rechnen oder mögliche Fehler zu berücksichtigen. Die frühesten schriftlichen Näherungen für π sind 3,125 in Babylon (1900–1600 v. Chr.) und 3,1605 im alten Ägypten (1650 v. Chr.). Beide Näherungen beginnen bei 3,1 – ziemlich nah am tatsächlichen Wert, aber immer noch relativ weit entfernt.
Pi-Zahl
Der erste strenge Ansatz zur Ermittlung des wahren Werts von π basierte auf geometrischen Näherungen. Um 250 v. Chr Der griechische Mathematiker Archimedes zeichnete Polygone sowohl um die Außen- als auch die Innenseite von Kreisen. Die Messung ihres Umfangs ergab die Ober- und Untergrenze des Bereichs, der die Zahl π enthält. Er begann mit Sechsecken; Mithilfe von Polygonen mit immer mehr Seiten berechnete er schließlich drei exakte Ziffern von Pi: 3,14. Um 150 n. Chr Der griechisch-römische Wissenschaftler Ptolemäus verwendete diese Methode, um den Wert von 3,1416 zu berechnen.
Unabhängig davon entwickelte der chinesische Mathematiker Liu Hui um 265 n. Chr. einen weiteren einfachen, auf Polygonen basierenden iterativen Algorithmus. Er schlug ein sehr schnelles und effizientes Näherungsverfahren vor, das vier exakte Vorzeichen lieferte. Später, um 480 n. Chr., übernahm Zu Chongzhi die Methode von Liu Hui und erreichte sieben Präzisionsgrade. Dieser Rekord hielt weitere 800 Jahre an.
Im Jahr 1630 gelangte der österreichische Astronom Christoph Greenberger zu einer 38-stelligen Zahl, die die genaueste Näherung darstellt, die manuell mithilfe von Polygonalalgorithmen erreicht wurde.
Die Entwicklung von Methoden für unendliche Reihen im 16. und 17. Jahrhundert verbesserte die Fähigkeit der Menschen, Pi effizienter zu approximieren, erheblich. Eine unendliche Reihe ist die Summe (oder, viel seltener, das Produkt) der Terme einer unendlichen Reihe, zum Beispiel ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1/(2n). Die erste schriftliche Beschreibung einer unendlichen Reihe, die zur Berechnung von π verwendet werden konnte, wurde um 1500 n. Chr. vom indischen Astronomen Nilakantha Somayaji in Sanskrit-Versen niedergelegt, der Beweis dafür wurde um 1530 n. Chr. vorgelegt.
Pi-Zahl. Komsomolskaja Prawda
Im Jahr 1665 verwendete der englische Mathematiker und Physiker Isaac Newton eine unendliche Reihe, um π auf 15 Ziffern zu berechnen, und nutzte dabei eine Infinitesimalrechnung, die er zusammen mit dem deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz entdeckt hatte. Danach wurde der Rekord immer wieder gebrochen. Sie erreichte 1699 71 Stellen, 1706 100 Stellen und 1956 620 Stellen – die beste Annäherung, die ohne die Hilfe eines Taschenrechners oder Computers erreicht wurde.
Parallel zu diesen Berechnungen untersuchten Mathematiker auch andere Eigenschaften der Zahl π. Der Schweizer Mathematiker Johann Heinrich Lambert (1728-1777) bewies als erster, dass die Zahl π irrational ist – sie hat unendlich viele Ziffern, die nie in einer sich wiederholenden Folge erscheinen. Im Jahr 1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann, dass die Zahl π nicht durch eine rationale algebraische Gleichung ausgedrückt werden kann (zum Beispiel π²=10 oder 9π4-240π2+1492=0).
Mit der Einführung iterativer Algorithmen, die mithilfe der für den vorherigen Wert durchgeführten Berechnung iterativ einen aktualisierten Wert erstellen, ist die Berechnung von noch mehr Ziffern von π sprunghaft angestiegen. Ein einfaches Beispiel für einen iterativen Algorithmus ermöglicht es Ihnen, die Quadratwurzel von 2 wie folgt zu approximieren, indem Sie die Formel (x+2/x)/2 verwenden:
(2+2/2)/2 = 1,5
(1,5+2/1,5)/2 = 1,4167
(1,4167+2/1,4167)/2 = 1,4142, was bereits eine sehr gute Annäherung darstellt.
Der Fortschritt hin zu mehr Ziffern von Pi erfolgte durch die Verwendung des Machin-artigen Algorithmus (eine Verallgemeinerung der 1706 entwickelten Formel des englischen Mathematikers John Machin) und des Gauß-Legendre-Algorithmus (spätes 18. Jahrhundert) in elektronischen Computern (erfunden Mitte des 20. Jahrhunderts). Jahrhundert). Im Jahr 1946 berechnete ENIAC, der erste elektronische Allzweckcomputer, 2.037 Stellen Pi in 70 Stunden. Die jüngste Berechnung ergab, dass Pi in 208 Tagen über 13 Billionen Stellen erreichte!
Es ist allgemein anerkannt, dass für die meisten numerischen Berechnungen mit der Zahl π ein Dutzend Ziffern eine ausreichende Genauigkeit bieten. Laut den Mathematikern Jörg Arndt und Christoph Haenel reichen 39 Ziffern aus, um die meisten kosmologischen Berechnungen durchzuführen, da dies die erforderliche Genauigkeit ist, um den Umfang des beobachtbaren Universums auf den Durchmesser eines einzelnen Atoms genau zu berechnen. Daher haben mehr Ziffern von Pi in Berechnungen keinen praktischen Nutzen; Vielmehr besteht das heutige Streben nach mehr Ziffern von Pi darin, Supercomputer und numerische Analysealgorithmen zu testen.
Es gibt auch unterhaltsame und einfache Methoden, um den Wert von Pi zu schätzen. Eine der bekanntesten ist die Monte-Carlo-Methode.
Die Methode ist recht einfach. Um es zu Hause auszuprobieren, zeichnen Sie einen Kreis auf ein Blatt Papier und ein Quadrat darum herum. Stellen Sie sich vor, dass die Seitenlänge eines Quadrats 2 beträgt, also beträgt seine Fläche 4; Der Durchmesser des Kreises beträgt daher 2 und seine Fläche beträgt π. Das Verhältnis zwischen ihren Flächen beträgt π/4 oder etwa 0,7854. Nehmen Sie nun einen Stift, schließen Sie die Augen und platzieren Sie Punkte in zufälliger Reihenfolge auf dem Quadrat. Wenn Sie dies oft genug tun und Ihre Bemühungen wirklich zufällig sind, liegt der Prozentsatz Ihres Punktes im Kreis schließlich näher bei 78,54 % – oder 0,7854. Sie gehören nun zu den Mathematikern, die seit Jahrhunderten Pi berechnen.
Der Pi-Tag wurde 1988 in San Francisco eingeführt, als Larry Shaw, der legendäre technische Kurator des Exploratoriums der Stadt, einen Zusammenhang zwischen dem 14. März (3,14) und Pi (3,14159…) sah. Hinzu kommt, dass am 14. März Albert Einsteins Geburtstag ist, und Sie haben eine Feier parat.
Die Zahl π scheint einfach zu sein: Sie ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, aber das stimmt überhaupt nicht. Die Zahl hat eine fast mystische Qualität, die Mathematiker dazu veranlasst hat, sich auf die Suche nach weiteren Ziffern von π zu begeben und Wege zu finden, wie sie sich mit dem Rest der Mathematik überschneidet. Hier sind fünf unglaubliche Fakten über die magische Zahl zu Ehren des Pi-Tages.
Es gibt mehrere Behauptungen über die allererste Entdeckung der Zahl π. Historiker weisen darauf hin, dass die babylonische und die ägyptische Kultur die wahrscheinlichen Pioniere dieses Konzepts um 2000 v. Chr. waren. Archimedes verfeinerte es um 250 v. Chr. weiter. in seiner Abhandlung Einen Kreis messen.
Im Jahr 250 n. Chr. stellte der chinesische Mathematiker Liu Hui in seinem Werk „Neun Kapitel über die Kunst der Mathematischen Wissenschaften“ fest, dass das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser größer als drei sein sollte. Anhand eines 96-seitigen Polygons stellte Liu Hui fest, dass das Verhältnis größer als drei sein muss. Tatsächlich hat er die ersten fünf Ziffern berechnet: 3,1416.
Im Westen wurde Archimedes als Entdecker der Konstante bekannt. Jahrhundertelang war 22/7 (eine gebrochene Annäherung an π) hauptsächlich unter seinem vollständigen griechischen Namen περιφέρεια bekannt. Dies bedeutet „Peripherie“, was angesichts der Beziehung der Konstante zum Kreis Sinn macht.
Pi-Zahl. Belarus heute
Doch im frühen 17. Jahrhundert beschloss der walisische Mathematiker William Jones, das ganze Unterfangen zu vereinfachen. Im Jahr 1706 veröffentlichte Jones Synopsis Palmariorum Matheseos, einen Einsteigertext über Infinitesimalrechnung und unendliche Reihen. Da die Konstante unendlich ist, begann Jones, sie einfach auf π zu reduzieren. Jones entwickelte sich schließlich in der mathematischen Gemeinschaft weiter und freundete sich mit den legendären Namen Isaac Newton und Edmund Halley an. Aber der Name blieb nicht hängen.
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Bald begann die Zahl π ihren Weg zu mathematischem Ruhm. Die Idee einer unendlichen Zahl war für viele attraktiv, insbesondere mit dem Aufkommen wissenschaftlicher und technologischer Entdeckungen während der industriellen Revolution. Für einige, wie William Shanks, wurde Pi zu einer Obsession. Shanks wurde 1815 im ländlichen England geboren. Über sein Leben ist wenig bekannt, aber er wurde Leiter eines privaten Internats in einem kleinen Dorf namens Houghton, das damals vor allem für den Kohlebergbau bekannt war. Dies interessierte Shanks jedoch nicht wirklich. Stattdessen widmete er sich in seiner Freizeit dem Rechnen und der Bestimmung immer weiterer Stellen der Zahl π. Er war kein Mathematiker, aber das hielt ihn nicht davon ab, seine Vormittage mit Berechnungen zu verbringen und seine Nachmittage damit, sie zu überprüfen.
Mit der Zeit machte er beeindruckende Fortschritte. Im Jahr 1853 veröffentlichte er ein Buch mit dem Titel „Contributions to Mathematics, Involving Chiefly the Rectification of the Circle“, das 607 Dezimalstellen für π angab, von denen die ersten 500 unabhängig verifiziert wurden.
Im Jahr 1873 erreichte Shanks mit der Zahl π den Höhepunkt seines Könnens. Er berechnete 707 Dezimalstellen, ein Rekord, der bis zum Aufkommen des elektronischen Computers Bestand hatte. Aber es gab noch eine weitere Demütigung: 1944 rezensierte ein Mathematiker namens D. F. Ferguson unabhängig Shanks‘ Arbeit. Es gab einen Fehler. Ferguson entdeckte, dass Shanks zwei Mitglieder falsch platziert hatte, was seinen 528er zunichte machte.
Die schiere Rechenleistung von Computern hat die Mathematik für immer verändert. Zwei Mathematiker demonstrierten diese Leistungsfähigkeit erstmals 1962 mit dem frühen IBM 7090-Computer, der erstmals 1959 auf den Markt kam und ein reines Transistorsystem war. Dies war ein völlig neues Konzept im Jahr 1959, als die meisten Computer noch Vakuumröhren verwendeten und der 7090 Berechnungen sechsmal schneller als diese Vakuumröhren durchführen konnte. Es könnte für nur 63.500 US-Dollar pro Monat gemietet werden (heute etwa 700.000 US-Dollar).
Zu den Kunden der 7090 gehörten vor allem Behörden wie das Verteidigungsministerium und die NASA. Im Jahr 1961 erreichten die Mathematiker Daniel Shanks und John Wrench damit Ziffern für π, die sich William Shanks nicht hätte vorstellen können: 100.000. Einer wissenschaftlichen Arbeit zufolge benötigte der Computer 7090 acht Stunden und 43 Minuten, um die Berechnung abzuschließen. Das mag wie eine lange Zeit erscheinen, aber wenn man Shanks‘ lebenslange Arbeit zu diesem Thema vergleicht, ist es leicht zu erkennen, wie der Computer die Mathematik revolutionieren wird. Versionen des 7090 sollten später auf den Weltraummissionen Gemini und Mercury eingesetzt werden.
IBM 7090. Tag in der Technologiegeschichte
Die Obsession mit der Zahl Pi hält bis in die Neuzeit an. Da es sich um eine irrationale Zahl handelt, ist dies nicht das Ende von π, und die Jagd kann auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden. Auf der ganzen Welt und im Abstand von Jahrhunderten fand Shanks eine gemeinsame Seele in Yasumasa Kanada, einem Professor am Institut für Informatik der Universität Tokio. Im Jahr 2002 stellte Kanada einen neuen Rekord auf: π auf 24 Billionen Dezimalstellen.
Das kanadische Team brauchte fünf Jahre, um das Programm zu entwickeln, mit dem das Ergebnis erzielt wurde. Und obwohl ihr Rekord inzwischen gebrochen wurde, zeigen die Bemühungen Kanadas, warum die Faszination für Pi anhält. Ab einem bestimmten Punkt verliert die Zahl jeglichen praktischen oder sogar akademischen Nutzen. Aber die Herausforderung, damit mehr zu erreichen, zeigt eine jahrhundertelange menschliche Entschlossenheit. Heute liegt der Rekord bei satten 62,8 Billionen Dezimalstellen.
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