Les avancées majeures en mathématiques et en sciences sont généralement le résultat du travail de nombreuses personnes pendant de nombreuses années. En 2000, des récompenses d’un million de dollars chacune étaient accordées pour la résolution de sept problèmes mathématiques, et un seul d’entre eux a été résolu à ce jour.
Les mathématiciens se préparent à une éventuelle avancée dans un problème très ancien et très difficile de la théorie des nombres. L’hypothèse de Riemann – concernant la distribution des nombres premiers le long de la droite numérique – remonte à plus de 160 ans. Bien que le nouvel article ne prétende pas résoudre le problème, il pourrait constituer une étape importante dans cette voie. Cela pourrait permettre à d’autres théoriciens des nombres de continuer à prendre des mesures pour résoudre ce problème et, peut-être plus important encore, de remporter le prix d’un million de dollars.
Les problèmes du millénaire sont sept problèmes mathématiques notoirement insolubles posés en 2000 par le prestigieux Clay Institute, chacun bénéficiant d’un gain d’un million de dollars. Ils couvrent tous les domaines des mathématiques, puisque le Clay Institute a été fondé en 1998 pour faire progresser l’ensemble du domaine grâce à un soutien financier aux chercheurs et à des percées importantes.
Mais le seul problème résolu du millénaire jusqu’à présent, la conjecture de Poincaré, illustre l’un des drôles de pièges inhérents à l’offre d’un gros prix en espèces pour les mathématiques. Le lauréat, Grigory Perelman, a décliné le Clay Award ainsi que la prestigieuse médaille Fields. Il a pris sa retraite des mathématiques et de la vie publique en 2006, et même en 2010, il insistait toujours sur le fait que ses contributions étaient les mêmes que celles du mathématicien dont les travaux ont jeté les bases sur lesquelles il a construit sa preuve, Richard Hamilton.
Les mathématiques, toutes les sciences et peut-être toute l’exploration humaine sont remplies de paires ou de groupes qui tournent autour de la même découverte en même temps jusqu’à ce que quelqu’un fasse officiellement une percée. Pensez à Sir Isaac Newton et Gottfried Leibniz, dont les débats sur le calcul ont conduit à la création d’une version combinée du domaine que nous étudions encore aujourd’hui. Rosalind Franklin est désormais mentionnée au même titre que ses collègues découvreurs de l’ADN, James Watson et Francis Crick. Même le test de Bechdel destiné aux femmes est parfois appelé dans les médias le test de Bechdel-Wallace, car les gens coopèrent presque toujours.
L’hypothèse de Riemann est l’un des sept problèmes du millénaire, avec la conjecture de Poincaré prouvée par Grigory Perelman et la théorie de Yang-Mills. Il est formulé comme suit. Prenons une fonction – en chaque point s elle est égale à la somme de la série:
Cette série converge pour s supérieur à l’unité. En utilisant des techniques mathématiques spéciales, vous pouvez étendre cette fonction à l’ensemble du plan complexe – vous obtenez la fonction zêta de Riemann. De plus, en certains points du plan complexe, les valeurs de cette fonction seront égales à zéro, par exemple en des points pairs négatifs. Ces vrais zéros sont dits triviaux. Mais à côté d’eux, il existe d’autres zéros, complexes – par exemple, s = 0,5 ± 21,022040i. L’hypothèse de Riemann stipule que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta se trouvent sur la ligne Re=0,5 du plan complexe.
Riemann a montré qu’en connaissant les zéros non triviaux de la fonction zêta, on peut construire une fonction de distribution de nombres premiers, qui montre combien de nombres premiers ne dépassent pas un nombre donné. La validité de l’hypothèse de Riemann permettra de prouver des affirmations non liées aux nombres premiers, par exemple concernant la complexité informatique de divers algorithmes.
