Las representaciones de Pi (π) ayudan a los científicos a utilizar valores cercanos a los valores reales sin tener que almacenar un millón de dígitos. La creación del nuevo número «pi» requirió el uso de una serie, que es un conjunto estructurado de términos que convergen en una sola expresión o divergen. En un nuevo estudio, los físicos utilizan los principios de la mecánica cuántica para construir un nuevo modelo del concepto abstracto del número π. O mejor dicho, construyeron un nuevo modelo que resulta incluir una nueva y excelente representación de pi. Pero, ¿qué significa esto y por qué necesitamos diferentes representaciones de pi?
Debido a que la mecánica cuántica analiza partículas diminutas, una a la vez, incluso las preguntas más simples pueden tener respuestas complejas que requieren una enorme potencia informática. Los videojuegos y películas de alta tecnología como Avatar pueden tardar días o más en renderizarse y todavía no están a la par de la realidad. En un nuevo artículo publicado en la revista revisada por pares Physical Review Letters, los físicos Arnab Priya Saha y Aninda Sinha describen su nueva versión de un modelo cuántico que reduce la complejidad pero mantiene la precisión, informa Popular Mechanics.
Esto se llama optimización. Pensemos en cómo los primeros vídeos de Internet estaban almacenados con trozos de colores similares, o cómo los animadores clásicos dibujaban cuerpos estáticos con partes móviles individuales encima, o cómo la gente cortaba las esquinas de senderos cuadrados hasta encontrar la ruta más corta por un camino de tierra. Estamos rodeados de optimización y comportamiento optimizador.
Número Pi. Diario en vivo
Saha y Sinha combinaron dos ideas existentes de las matemáticas y la ciencia: el diagrama de Feynman para la dispersión de partículas y la función beta de Euler para la dispersión en la teoría de cuerdas. El resultado es una serie, algo representado en matemáticas por la letra griega Σ rodeada de parámetros.
Las series pueden eventualmente generalizarse en ecuaciones o expresiones generales, pero esto no es necesario. Y aunque algunas series divergen (es decir, los términos continúan alternándose entre sí), otras convergen hacia un resultado aproximado y específico. Aquí es donde entra en juego π. Los dígitos de π se extienden hasta el infinito, y pi en sí es un número irracional, lo que significa que realmente no puede representarse como una fracción entera (la que aprendemos a menudo en la escuela, 22/7, no es muy precisa para los estándares de 2024).
Pero este número se puede representar bastante rápido y bien uno al lado del otro. Esto se debe a que la serie puede seguir acumulando valores hasta los números más pequeños. Si un matemático compone los términos de una serie, puede utilizar la abstracción resultante para realizar cálculos matemáticos que no son posibles con la aproximación de π y que una calculadora de escritorio estándar reduce a 10 dígitos. Esta sofisticada aproximación permite realizar el trabajo con nanopartículas que inspiró a estos científicos en primer lugar.
«A principios de la década de 1970», dijo Sinha en un comunicado del Instituto Indio de Ciencias, «los científicos exploraron brevemente esta línea de investigación, pero rápidamente la abandonaron porque era demasiado compleja».
Pero este tipo de análisis matemático ha avanzado mucho desde los años setenta. Hoy, Sinha y Saha pueden analizar el modelo existente y rediseñarlo con términos modificados. Pueden trazar la secuencia y ver que converge al valor π en muchos menos términos de los esperados, lo que facilita a los científicos ejecutar la serie y utilizarla para trabajos posteriores.
Todo esto requiere décadas de trabajo fundamental en el campo y mucho trabajo para demostrar que ciertos movimientos matemáticos funcionan donde otros no. Es un comentario sobre la naturaleza continua y colaborativa de las matemáticas, incluso cuando el resultado es un modelo funcional que puede ayudar a los científicos. Nuestra capacidad para acercarnos de manera significativa ha crecido junto con nuestra capacidad para abordar problemas complejos directamente.
«Hacer ese trabajo, aunque no tenga una aplicación inmediata en la vida cotidiana, proporciona el puro placer de seguir la teoría por sí misma», dijo Sinha en un comunicado.
El número representado por pi (π) se utiliza en los cálculos cuando se habla de algo redondo (o casi redondo), como círculos, esferas, cilindros, conos y elipses. Su valor es necesario para calcular muchas cantidades importantes sobre estas formas, como comprender la relación entre el radio de un círculo, su circunferencia y su área (circunferencia = 2πr; área = πr2).
Pi también se utiliza en cálculos para determinar el área de una elipse y para encontrar el radio, el área de superficie y el volumen de una esfera. En nuestro mundo hay muchos objetos redondos y casi redondos; Encontrar el valor exacto de π nos ayuda a construirlos, fabricarlos y trabajar con ellos con mayor precisión, informa The Conversation.
Históricamente, la gente sólo tenía estimaciones muy aproximadas de π (como 3, 3,12 o 3,16) y, aunque sabían que eran sólo estimaciones, no tenían idea de qué tan lejos estaban de la verdad.
La búsqueda del valor exacto de π condujo no sólo a una mayor precisión, sino también al desarrollo de nuevos conceptos y métodos, como límites y algoritmos iterativos, que luego se volvieron fundamentales para nuevas áreas de las matemáticas.
Hace entre 3.000 y 4.000 años, la gente utilizaba aproximaciones para π mediante prueba y error, sin hacer ningún cálculo ni tener en cuenta posibles errores. Las primeras aproximaciones escritas de π son 3,125 en Babilonia (1900-1600 a. C.) y 3,1605 en el Antiguo Egipto (1650 a. C.). Ambas aproximaciones comienzan en 3,1: bastante cerca del valor real, pero todavía relativamente lejos.
número pi
El primer enfoque riguroso para encontrar el valor verdadero de π se basó en aproximaciones geométricas. Alrededor del 250 a.C. El matemático griego Arquímedes dibujó polígonos tanto en el exterior como en el interior de los círculos. Al medir sus perímetros se obtuvieron los límites superior e inferior del rango que contiene el número π. Empezó con hexágonos; utilizando polígonos con cada vez más lados, finalmente calculó tres dígitos exactos de pi: 3,14. Alrededor del año 150 d.C. El científico grecorromano Ptolomeo utilizó este método para calcular el valor de 3,1416.
De forma independiente, alrededor del año 265 d.C., el matemático chino Liu Hui creó otro algoritmo iterativo simple basado en polígonos. Propuso un método de aproximación muy rápido y eficaz que daba cuatro signos exactos. Más tarde, alrededor del año 480 d.C., Zu Chongzhi adoptó el método de Liu Hui y logró siete marcas de precisión. Este registro duró otros 800 años.
En 1630, el astrónomo austriaco Christoph Greenberger llegó a un número de 38 dígitos, que es la aproximación más precisa lograda a mano utilizando algoritmos poligonales.
El desarrollo de métodos de series infinitas en los siglos XVI y XVII mejoró enormemente la capacidad de las personas para aproximar pi de manera más eficiente. Una serie infinita es la suma (o, mucho menos comúnmente, el producto) de los términos de una secuencia infinita, por ejemplo, ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1/(2n). La primera descripción escrita de una serie infinita que podría usarse para calcular π fue expuesta en verso sánscrito por el astrónomo indio Nilakantha Somayaji alrededor del año 1500 d.C., cuya prueba se presentó alrededor del 1530 d.C.
Número Pi. Komsomolskaya Pravda
En 1665, el matemático y físico inglés Isaac Newton utilizó una serie infinita para calcular π a 15 dígitos, utilizando un cálculo que descubrió con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Después de esto, el récord siguió batiéndose. Llegó a 71 dígitos en 1699, 100 dígitos en 1706 y 620 dígitos en 1956: la mejor aproximación lograda sin la ayuda de una calculadora o computadora.
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Paralelamente a estos cálculos, los matemáticos también estudiaron otras características del número π. El matemático suizo Johann Heinrich Lambert (1728-1777) fue el primero en demostrar que el número π es irracional: tiene un número infinito de dígitos que nunca aparecen en una secuencia repetida. En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que el número π no puede expresarse mediante una ecuación algebraica racional (por ejemplo, π²=10 o 9π4-240π2+1492=0).
Los aumentos repentinos en el cálculo de aún más dígitos de π han seguido a la adopción de algoritmos iterativos, que crean de forma iterativa un valor actualizado utilizando el cálculo realizado en el valor anterior. Un ejemplo simple de un algoritmo iterativo le permite aproximar la raíz cuadrada de 2 de la siguiente manera, usando la fórmula (x+2/x)/2:
(2+2/2)/2 = 1,5
(1,5+2/1,5)/2 = 1,4167
(1,4167+2/1,4167)/2 = 1,4142, que ya es una aproximación muy cercana.
El progreso hacia más dígitos de pi se produjo con el uso del algoritmo de tipo Machin (una generalización de la fórmula del matemático inglés John Machin desarrollada en 1706) y el algoritmo de Gauss-Legendre (finales del siglo XVIII) en computadoras electrónicas (inventadas a mediados del siglo XX). siglo). En 1946, ENIAC, la primera computadora electrónica de uso general, calculó 2.037 dígitos de pi en 70 horas. ¡El cálculo más reciente mostró que pi alcanzó más de 13 billones de dígitos en 208 días!
Está ampliamente aceptado que para la mayoría de los cálculos numéricos que involucran el número π, una docena de dígitos proporciona suficiente precisión. Según los matemáticos Jörg Arndt y Christoph Haenel, 39 dígitos son suficientes para realizar la mayoría de los cálculos cosmológicos, ya que esta es la precisión necesaria para calcular la circunferencia del universo observable dentro del diámetro de un solo átomo. Por lo tanto, más dígitos de pi no tienen uso práctico en los cálculos; más bien, la búsqueda actual de más dígitos de pi radica en probar supercomputadoras y algoritmos de análisis numérico.
También existen métodos divertidos y sencillos para estimar el valor de pi. Uno de los más famosos es el método llamado Montecarlo.
El método es bastante sencillo. Para probarlo en casa, dibuja un círculo en una hoja de papel y un cuadrado alrededor. Imagina que la longitud de los lados de un cuadrado es 2, por lo que su área es 4; Por tanto, el diámetro del círculo es 2 y su área es π. La relación entre sus áreas es π/4, o aproximadamente 0,7854. Ahora toma un bolígrafo, cierra los ojos y coloca puntos en el cuadrado en orden aleatorio. Si haces esto suficientes veces y tus esfuerzos son verdaderamente aleatorios, eventualmente el porcentaje de tu punto en el círculo estará más cerca del 78,54%, o 0,7854. Ahora se ha unido a las filas de los matemáticos que han estado calculando pi durante siglos.
El Día Pi se introdujo en 1988 en San Francisco cuando Larry Shaw, el legendario curador técnico del Exploratorium de la ciudad, vio una conexión entre el 14 de marzo (3.14) y pi (3.14159…). Agregue a esto el hecho de que el 14 de marzo es el cumpleaños de Albert Einstein y tendrá una celebración lista.
El número π parece simple: es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, pero esto no es del todo cierto. El número tiene una cualidad casi mística que ha provocado que los matemáticos se metan en madrigueras tratando de encontrar más dígitos de π, así como descubrir formas en las que se cruza con el resto de las matemáticas. Aquí hay cinco datos increíbles sobre el número mágico en honor al Día de Pi.
Hay varias afirmaciones sobre el primer descubrimiento del número π. Los historiadores señalan a las culturas babilónica y egipcia como las probables pioneras de este concepto alrededor del año 2000 a.C. Arquímedes lo perfeccionó aún más alrededor del 250 a.C. en su tratado Midiendo un círculo.
En el año 250 d.C., el matemático chino Liu Hui, en una obra conocida como Nueve capítulos sobre el arte de las ciencias matemáticas, determinó que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro debía ser mayor que tres. Usando un polígono de 96 lados, Liu Hui determinó que la proporción debe ser mayor que tres. De hecho, calculó los primeros cinco dígitos: 3,1416.
En Occidente, Arquímedes llegó a ser conocido como el descubridor de la constante. Durante siglos, 22/7 (una aproximación fraccionaria de π) fue conocido principalmente por su nombre griego completo περιφέρεια. Esto se traduce como «periferia», lo cual tiene sentido dada la relación de la constante con el círculo.
Número Pi. Bielorrusia hoy
Pero a principios del siglo XVIII, el matemático galés William Jones decidió simplificar todo el esfuerzo. En 1706, Jones publicó Synopsis Palmariorum Matheseos, un texto para principiantes sobre cálculo y series infinitas. Como la constante es infinita, Jones comenzó a reducirla simplemente a π. Jones finalmente avanzó en la comunidad matemática, trabando amistad con nombres legendarios Isaac Newton y Edmund Halley. Pero el nombre no quedó.
Pronto el número π inició su camino hacia la gloria matemática. La idea de un número infinito resultó atractiva para muchos, especialmente con el auge de los descubrimientos científicos y tecnológicos realizados durante la Revolución Industrial. Para algunos, como William Shanks, pi se convirtió en una obsesión. Shanks nació en 1815 en la Inglaterra rural. Poco se sabe sobre su vida, pero se convirtió en maestro de un internado privado en un pequeño pueblo llamado Houghton, conocido principalmente en ese momento por la minería del carbón. Sin embargo, esto realmente no le interesaba a Shanks. En cambio, en su tiempo libre, se dedicaba a calcular y determinar cada vez más dígitos del número π. No era matemático, pero eso no le impedía dedicar las mañanas a hacer cálculos y las tardes a comprobarlos.
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Con el tiempo, logró avances impresionantes. En 1853, publicó un libro titulado Contribuciones a las matemáticas, que implica principalmente la rectificación del círculo, que daba 607 decimales para π, los primeros 500 de los cuales fueron verificados de forma independiente.
En 1873, Shanks alcanzó la cima de su habilidad con el número π. Calculó 707 decimales, un récord que se mantuvo hasta la llegada de la computadora electrónica. Pero hubo otra humillación: en 1944, un matemático llamado D. F. Ferguson revisó de forma independiente el trabajo de Shanks. Hubo un error. Ferguson descubrió que Shanks había colocado dos miembros incorrectamente, lo que derribó su 528.
El enorme poder de procesamiento de las computadoras cambió las matemáticas para siempre. Dos matemáticos ofrecieron una demostración temprana de este poder en 1962 con la primera computadora IBM 7090, lanzada por primera vez en 1959, la 7090 era un sistema totalmente de transistores. Este era un concepto completamente nuevo en 1959, cuando la mayoría de las computadoras todavía usaban tubos de vacío y el 7090 podía realizar cálculos seis veces más rápido que esos tubos de vacío. Podría alquilarse por tan solo 63.500 dólares al mes (unos 700.000 dólares en dinero actual).
Los clientes del 7090 eran principalmente agencias como el Departamento de Defensa y la NASA. En 1961, los matemáticos Daniel Shanks y John Wrench lo utilizaron para alcanzar dígitos de π que William Shanks no podría haber imaginado: 100.000. Según un artículo académico que demuestra su trabajo, la computadora 7090 tardó ocho horas y 43 minutos en completar el cálculo. Esto puede parecer mucho tiempo, pero en comparación con el trabajo de toda la vida de Shanks sobre el tema, es fácil ver cómo la computadora revolucionará las matemáticas. Posteriormente se utilizarían versiones del 7090 en las misiones espaciales Gemini y Mercury.
IBM 7090. Un día en la historia de la tecnología
La obsesión por el número pi continúa en la era moderna. Dado que es un número irracional, este no es el final de π y la persecución puede continuar indefinidamente. En todo el mundo y con siglos de diferencia, Shanks encontró un alma común en Yasumasa Kanada, profesor del Departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad de Tokio. En 2002, Canadá estableció un nuevo récord: π con 24 billones de decimales.
Al equipo canadiense le llevó cinco años desarrollar el programa que se utilizó para obtener el resultado. Y aunque desde entonces se ha superado su récord, los esfuerzos de Canadá muestran por qué continúa la fascinación por pi. En cierto punto, el número pierde cualquier uso práctico o incluso académico. Pero el desafío de lograr más con ello muestra una determinación humana que se extendió por siglos. Hoy el récord se sitúa en la friolera de 62,8 billones de decimales.
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