Les représentations Pi (π) aident les scientifiques à utiliser des valeurs proches des valeurs réelles sans avoir à stocker un million de chiffres. La création du nouveau nombre «pi» a nécessité l’utilisation d’une série, qui est un ensemble structuré de termes qui convergent vers une expression unique ou divergent. Dans une nouvelle étude, des physiciens utilisent les principes de la mécanique quantique pour construire un nouveau modèle du concept abstrait du nombre π. Ou plutôt, ils ont construit un nouveau modèle qui s’avère inclure une nouvelle représentation géniale de pi. Mais qu’est-ce que cela signifie et pourquoi avons-nous besoin de différentes représentations de pi?
Étant donné que la mécanique quantique examine de minuscules particules, une à la fois, même des questions simples peuvent avoir des réponses complexes qui nécessitent une énorme puissance de calcul. Le rendu des jeux vidéo et des films de haute technologie comme Avatar peut prendre des jours, voire plus, et ce n’est toujours pas à la hauteur de la réalité. Dans un nouvel article publié dans la revue à comité de lecture Physical Review Letters, les physiciens Arnab Priya Saha et Aninda Sinha décrivent leur nouvelle version d’un modèle quantique qui réduit la complexité mais maintient la précision, rapporte Popular Mechanics .
C’est ce qu’on appelle l’optimisation. Pensez à la façon dont les premières vidéos sur Internet étaient tamponnées avec des morceaux de couleurs similaires, ou à la façon dont les animateurs classiques dessinaient des corps statiques avec des pièces mobiles individuelles sur le dessus, ou à la façon dont les gens coupaient les coins de sentiers carrés jusqu’à ce qu’ils trouvent le chemin le plus court sur un chemin de terre. Nous sommes entourés d’optimisation et de comportement d’optimisation.
Numéro Pi. Journal en direct
Saha et Sinha ont combiné deux idées existantes en mathématiques et en sciences : le diagramme de Feynman pour la diffusion des particules et la fonction bêta d’Euler pour la diffusion dans la théorie des cordes. Le résultat est une série, représentée en mathématiques par la lettre grecque Σ entourée de paramètres.
Les séries peuvent éventuellement être généralisées en équations ou expressions générales, mais cela n’est pas nécessaire. Et même si certaines séries divergent, c’est-à-dire que les termes continuent d’alterner les uns avec les autres, d’autres convergent vers un résultat approximatif et spécifique. C’est là que π entre en jeu. Les chiffres de π s’étendent jusqu’à l’infini et pi lui-même est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu’il ne peut pas vraiment être représenté comme une fraction entière (celui que nous apprenons souvent à l’école, 22/7, n’est pas très précis selon les normes de 2024).
Mais ce nombre peut être représenté assez rapidement et bien côte à côte. En effet, les séries peuvent continuer à accumuler des valeurs jusqu’aux plus petits nombres. Si un mathématicien compose les termes d’une série, il peut utiliser l’abstraction résultante pour effectuer des calculs mathématiques qui ne sont pas possibles avec l’approximation de π et qui sont réduits à 10 chiffres par une calculatrice de bureau standard. Cette approximation sophistiquée permet de réaliser les travaux sur les nanoparticules qui ont inspiré ces scientifiques en premier lieu.
« Au début des années 1970 », a déclaré Sinha dans un communiqué de l’Institut indien des sciences, « les scientifiques ont brièvement exploré cette voie de recherche mais l’ont rapidement abandonnée parce qu’elle était trop complexe ».
Mais une telle analyse mathématique a parcouru un long chemin depuis les années 1970. Aujourd’hui, Sinha et Saha sont capables d’analyser le modèle existant et de le repenser avec des termes modifiés. Ils peuvent tracer la séquence et voir qu’elle converge vers la valeur π en beaucoup moins de termes que prévu, ce qui permet aux scientifiques d’exécuter plus facilement la série et de l’utiliser pour des travaux ultérieurs.
Tout cela nécessite des décennies de travail fondamental dans le domaine et beaucoup de travail montrant que certains mouvements mathématiques fonctionnent là où d’autres ne fonctionnent pas. Il s’agit d’un commentaire sur la nature continue et collaborative des mathématiques, même lorsque le résultat est un modèle fonctionnel susceptible d’aider les scientifiques. Notre capacité à zoomer de manière significative s’est développée parallèlement à notre capacité à résoudre directement des problèmes complexes.
« Faire un tel travail, même s’il n’a pas d’application immédiate dans la vie de tous les jours, procure le pur plaisir de poursuivre la théorie en soi », a déclaré Sinha dans un communiqué.
Le nombre représenté par pi (π) est utilisé dans les calculs lorsqu’on parle de quelque chose de rond (ou presque rond), comme des cercles, des sphères, des cylindres, des cônes et des ellipses. Sa valeur est nécessaire pour calculer de nombreuses quantités importantes sur ces formes, comme comprendre la relation entre le rayon d’un cercle, sa circonférence et son aire (circonférence = 2πr ; aire = πr2).
Pi est également utilisé dans les calculs pour déterminer l’aire d’une ellipse et pour trouver le rayon, la surface et le volume d’une sphère. Il existe de nombreux objets ronds et presque ronds dans notre monde ; Trouver la valeur exacte de π nous aide à les construire, à les fabriquer et à les utiliser avec plus de précision, rapporte The Conversation.
Historiquement, les gens n’avaient que des estimations très approximatives de π (telles que 3, ou 3,12, ou 3,16), et même s’ils savaient qu’il ne s’agissait que d’estimations, ils n’avaient aucune idée à quel point elles étaient éloignées de la vérité.
La recherche de la valeur exacte de π a conduit non seulement à une précision accrue, mais également au développement de nouveaux concepts et méthodes, tels que les limites et les algorithmes itératifs, qui sont ensuite devenus fondamentaux pour de nouveaux domaines mathématiques.
Il y a entre 3 000 et 4 000 ans, les gens utilisaient des approximations de π par essais et erreurs, sans faire de calcul ni prendre en compte les erreurs possibles. Les premières approximations écrites de π sont 3,125 à Babylone (1900-1600 avant JC) et 3,1605 dans l’Égypte ancienne (1650 avant JC). Les deux approximations commencent à 3,1, soit une valeur assez proche de la valeur réelle, mais qui reste relativement éloignée.
Numéro Pi
La première approche rigoureuse pour trouver la vraie valeur de π était basée sur des approximations géométriques. Vers 250 avant JC Le mathématicien grec Archimède a dessiné des polygones autour de l’extérieur et de l’intérieur des cercles. La mesure de leurs périmètres a donné les limites supérieure et inférieure de la plage contenant le nombre π. Il a commencé avec des hexagones ; en utilisant des polygones avec de plus en plus de côtés, il a finalement calculé trois chiffres exacts de pi: 3,14. Vers 150 après JC Le scientifique gréco-romain Ptolémée a utilisé cette méthode pour calculer la valeur de 3,1416.
Indépendamment, vers 265 après JC, le mathématicien chinois Liu Hui a créé un autre algorithme itératif simple basé sur des polygones. Il a proposé une méthode d’approximation très rapide et efficace qui donnait quatre signes exacts. Plus tard, vers 480 après JC, Zu Chongzhi adopta la méthode de Liu Hui et obtint sept marques de précision. Ce record a duré encore 800 ans.
En 1630, l’astronome autrichien Christoph Greenberger est parvenu à un nombre à 38 chiffres, ce qui constitue l’approximation la plus précise obtenue manuellement à l’aide d’algorithmes polygonaux.
Le développement des méthodes des séries infinies aux XVIe et XVIIe siècles a considérablement amélioré la capacité des gens à se rapprocher plus efficacement de pi. Une série infinie est la somme (ou, beaucoup moins communément, le produit) des termes d’une séquence infinie, par exemple ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1/(2n). La première description écrite d’une série infinie pouvant être utilisée pour calculer π a été présentée en vers sanscrits par l’astronome indien Nilakantha Somayaji vers 1500 après JC, dont la preuve a été présentée vers 1530 après JC.
Numéro Pi. Komsomolskaïa Pravda
En 1665, le mathématicien et physicien anglais Isaac Newton a utilisé une série infinie pour calculer π à 15 chiffres, en utilisant le calcul qu’il a découvert avec le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Après cela, le record a continué à être battu. Il atteignait 71 chiffres en 1699, 100 chiffres en 1706 et 620 chiffres en 1956 – la meilleure approximation obtenue sans l’aide d’une calculatrice ou d’un ordinateur.
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Parallèlement à ces calculs, les mathématiciens ont également étudié d’autres caractéristiques du nombre π. Le mathématicien suisse Johann Heinrich Lambert (1728-1777) fut le premier à prouver que le nombre π est irrationnel : il comporte un nombre infini de chiffres qui n’apparaissent jamais dans une séquence répétitive. En 1882, le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontra que le nombre π ne peut pas être exprimé par une équation algébrique rationnelle (par exemple, π²=10 ou 9π4-240π2+1492=0).
L’essor du calcul d’encore plus de chiffres de π a suivi l’adoption d’algorithmes itératifs, qui créent de manière itérative une valeur mise à jour en utilisant le calcul effectué sur la valeur précédente. Un exemple simple d’algorithme itératif vous permet d’approcher la racine carrée de 2 comme suit, en utilisant la formule (x+2/x)/2 :
(2+2/2)/2 = 1,5
(1,5+2/1,5)/2 = 1,4167
(1,4167+2/1,4167)/2 = 1,4142, ce qui est déjà une approximation très proche.
Des progrès vers davantage de chiffres de pi ont eu lieu grâce à l’utilisation de l’algorithme de type Machin (une généralisation de la formule du mathématicien anglais John Machin développée en 1706) et de l’algorithme de Gauss-Legendre (fin du XVIIIe siècle) dans les ordinateurs électroniques (inventé au milieu du XXe siècle). siècle). En 1946, ENIAC, le premier ordinateur électronique à usage général, calculait 2 037 chiffres de pi en 70 heures. Le calcul le plus récent a montré que pi a atteint plus de 13 000 milliards de chiffres en 208 jours !
Il est largement admis que pour la plupart des calculs numériques impliquant le nombre π, une douzaine de chiffres fournissent une précision suffisante. Selon les mathématiciens Jörg Arndt et Christoph Haenel, 39 chiffres suffisent pour effectuer la plupart des calculs cosmologiques, car c’est la précision nécessaire pour calculer la circonférence de l’univers observable avec le diamètre d’un seul atome. Par conséquent, plus de chiffres de pi n’ont aucune utilité pratique dans les calculs ; la recherche actuelle d’un plus grand nombre de chiffres de pi consiste plutôt à tester des superordinateurs et des algorithmes d’analyse numérique.
Il existe également des méthodes amusantes et simples pour estimer la valeur de pi. L’une des plus connues est la méthode appelée Monte Carlo.
La méthode est assez simple. Pour l’essayer à la maison, dessinez un cercle sur une feuille de papier et un carré autour. Imaginez que la longueur des côtés d’un carré est de 2, donc son aire est de 4; Le diamètre du cercle est donc 2 et son aire est π. Le rapport entre leurs surfaces est de π/4, soit environ 0,7854. Maintenant, prenez un stylo, fermez les yeux et placez des points sur le carré dans un ordre aléatoire. Si vous faites cela suffisamment de fois et que vos efforts sont vraiment aléatoires, le pourcentage de votre point dans le cercle finira par être plus proche de 78,54% – ou 0,7854. Vous avez désormais rejoint les rangs des mathématiciens qui calculent Pi depuis des siècles.
Le Pi Day a été introduit en 1988 à San Francisco lorsque Larry Shaw, le légendaire conservateur technique de l’Exploratorium de la ville, a vu un lien entre le 14 mars (3.14) et pi (3.14159…). Ajoutez à cela le fait que le 14 mars est l’anniversaire d’Albert Einstein et vous avez une fête prête.
Le nombre π semble simple: c’est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre, mais ce n’est pas du tout vrai. Le nombre a une qualité presque mystique qui a poussé les mathématiciens à s’aventurer dans des terriers de lapin pour essayer de trouver plus de chiffres de π, ainsi que pour découvrir les façons dont il recoupe le reste des mathématiques. Voici cinq faits incroyables sur le nombre magique en l’honneur du Pi Day.
Il existe plusieurs affirmations concernant la toute première découverte du nombre π. Les historiens désignent les cultures babylonienne et égyptienne comme les probables pionnières de ce concept vers 2000 avant JC. Archimède l’a encore affiné vers 250 avant JC. dans son traité Mesurer un cercle.
En 250 après JC, le mathématicien chinois Liu Hui, dans un ouvrage connu sous le titre Neuf chapitres sur l’art des sciences mathématiques, a déterminé que le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre devait être supérieur à trois. En utilisant un polygone à 96 côtés, Liu Hui a déterminé que le rapport devait être supérieur à trois. En fait, il a calculé les cinq premiers chiffres: 3,1416.
En Occident, Archimède est devenu connu comme le découvreur de la constante. Pendant des siècles, 22/7 (une approximation fractionnaire de π) était connu principalement sous son nom grec complet περιφέρεια. Cela se traduit par «périphérie», ce qui est logique étant donné la relation entre la constante et le cercle.
Numéro Pi. La Biélorussie aujourd’hui
Mais au début des années 1700, le mathématicien gallois William Jones a décidé de simplifier l’ensemble de son projet. En 1706, Jones publie Synopsis Palmariorum Matheseos, un texte pour débutants sur le calcul et les séries infinies. Puisque la constante est infinie, Jones a commencé à la réduire simplement à π. Jones a finalement progressé dans la communauté mathématique, se liant d’amitié avec les noms légendaires Isaac Newton et Edmund Halley. Mais le nom n’est pas resté.
Bientôt, le nombre π commença son chemin vers la gloire mathématique. L’idée d’un nombre infini séduisait beaucoup, notamment avec l’essor des découvertes scientifiques et technologiques réalisées pendant la révolution industrielle. Pour certains, comme William Shanks, le pi est devenu une obsession. Shanks est né en 1815 dans l’Angleterre rurale. On sait peu de choses sur sa vie, mais il est devenu maître d’un internat privé dans un petit village appelé Houghton, principalement connu à l’époque pour ses mines de charbon. Cependant, cela n’intéressait pas vraiment Shanks. Au lieu de cela, pendant son temps libre, il se consacrait aux calculs et à la détermination de plus en plus de chiffres du nombre π. Il n’était pas mathématicien, mais cela ne l’empêchait pas de passer ses matinées à faire des calculs et ses après-midi à les vérifier.
Au fil du temps, il a fait des progrès impressionnants. En 1853, il publie un livre intitulé Contributions aux mathématiques, impliquant principalement la rectification du cercle, qui donne 607 décimales pour π, dont les 500 premières ont été vérifiées de manière indépendante.
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En 1873, Shanks atteignit le sommet de ses capacités avec le nombre π. Il calcula 707 décimales, un record qui dura jusqu’à l’avènement de l’ordinateur électronique. Mais il y eut une autre humiliation: en 1944, un mathématicien nommé D. F. Ferguson examina de manière indépendante le travail de Shanks. Il y a eu une erreur. Ferguson a découvert que Shanks avait mal placé deux membres, ce qui a fait tomber son 528.
La puissance de traitement des ordinateurs a changé à jamais les mathématiques. Deux mathématiciens ont proposé une première démonstration de cette puissance en 1962 avec le premier ordinateur IBM 7090, lancé pour la première fois en 1959, le 7090 était un système entièrement à transistors. Il s’agissait d’un concept complètement nouveau en 1959, lorsque la plupart des ordinateurs utilisaient encore des tubes à vide, et le 7090 pouvait effectuer des calculs six fois plus rapidement que ces tubes à vide. Il pourrait être loué pour aussi peu que 63 500 $ par mois (environ 700 000 $ en argent d’aujourd’hui).
Les clients du 7090 étaient principalement des agences telles que le ministère de la Défense et la NASA. En 1961, les mathématiciens Daniel Shanks et John Screw l’ont utilisé pour atteindre des chiffres pour π que William Shanks n’aurait pas pu imaginer: 100 000. Selon un article universitaire démontrant leur travail, l’ordinateur 7090 a mis huit heures et 43 minutes pour effectuer le calcul. Cela peut paraître long, mais si on le compare au travail de toute une vie de Shanks sur le sujet, il est facile de voir à quel point l’ordinateur va révolutionner les mathématiques. Des versions du 7090 seront ensuite utilisées sur les missions spatiales Gemini et Mercury.
IBM 7090. Une journée dans l’histoire de la technologie
L’obsession du nombre pi se poursuit jusqu’à l’ère moderne. Puisqu’il s’agit d’un nombre irrationnel, ce n’est pas la fin de π et la poursuite peut continuer indéfiniment. Partout dans le monde et à des siècles d’intervalle, Shanks a trouvé une âme commune en la personne de Yasumasa Kanada, professeur au département d’informatique de l’Université de Tokyo. En 2002, le Canada a établi un nouveau record: π à 24 000 milliards de décimales.
Il a fallu cinq ans à l’équipe canadienne pour développer le programme qui a servi à obtenir son résultat. Et même si leur record a depuis été battu, les efforts du Canada montrent pourquoi la fascination pour pi persiste. À un certain moment, le nombre perd toute utilité pratique, voire académique. Mais le défi d’en faire plus témoigne d’une détermination humaine qui a duré des siècles. Aujourd’hui, le record s’élève à 62 800 milliards de décimales.
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